算法复杂度分析看这一篇就够了

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执行效率是算法一个非常重要的考量指标，而时间复杂度和空间复杂度则是衡量算法代码的执行效率。

为什么需要复杂度分析

通常情况下，我们可以在写完代码的情况下把程序跑一遍，通过统计、监控，就能得出算法执行的时间和空间内存大小。但这些统计有很大的局限性。

测试结果非常依赖测试环境，不同的硬件对测试结果影响很大。
测试结果受数据规模影响很大。
所以我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率。而这个方法就是算法复杂度分析。

大O表示法

一般使用如下公式来表示时间复杂度：

                                     T(n) = O(f(n))

T(n)表示代码的执行时间，
n表示数据的规模，
f(n)表示每行代码执行的次数总和，因为这是一个公式，所以用f(n)表示。
公式中的O表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比。

时间复杂度分析

下面介绍几种常用的分析方法。

只关注循环执行次数最多的一段代码

大O复杂度表示方法只是表示一种变化趋势，通常可忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需记录最大阶的量级即可。

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

第2、3行代码都是常量级执行，与n的大小无关。第4、5行代码执行了n次，所以总的时间复杂度就是O(n)。

加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

int cal(int n) {
   int sum_1 = 0;
   int p = 1;
   for (; p < 100; ++p) {
     sum_1 = sum_1 + p;
   }

   int sum_2 = 0;
   int q = 1;
   for (; q < n; ++q) {
     sum_2 = sum_2 + q;
   }
 
   int sum_3 = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1; 
     for (; j <= n; ++j) {
       sum_3 = sum_3 +  i * j;
     }
   }
 
   return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 }

上述代码中：

sum_1执行了100次，复杂度为O(1)；
sum_2执行了n次，时间复杂度为O(n)；
sum_3执行了n*n =n^2，时间复杂度为O(n²)。
总的时间复杂度等于量级最大的那段代码的时间复杂度，即O(n²)。

乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for (; i < n; ++i) {
     ret = ret + f(i);
   } 
 } 
 
 int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
 }

第4、5行代码的时间复杂度是T1(n) = O(n)，函数f()时间复杂度是T2(n) = O(n)，所以整个cal()函数的时间复杂度T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n²)。

常见时间复杂度分析

常见的复杂度量级并不多，基本都在下图中。

复杂度耗费的时间从小到大依次是：

    O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^k)

上速几种复杂度量级粗略地分为两类：多项式量级和非多项式量级。
非多项式量级只有两个：O(2ⁿ)和O(n!)。我们把复杂度为非多项式量级的算法问题叫着NP(Non-Deterministic Polynomial，非确定多项式)问题。非多项式时间复杂度的算法其实非常低效，当数据规模n越来越大时，算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。

接下来讲讲多项式量级复杂度：

O(1)

 int i = 8;
 int j = 6;
 int sum = i + j;

O(1)只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。上述代码即便有3行，它的时间复杂度也是O(1)，而不是O(3)。
一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句、即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是O(1)。

O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种。看列子

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

通过前面的复杂度分析，第3行代码执行的次数最多。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的世界复杂度。
由于每次i乘以2之后，就距离n更近了，也就是说有多少个2相乘>=n之后，则退出循环即2x=n，我们只要知道x是几，就表示代码执行了多少次，由2x=n，得到x=logn，所以这个循环时间复杂度就是O(logn)。
了解了上述过程之后O(nlogn)时间复杂度就很好理解了，它表示时间复杂度为O(logn)的代码执行了n次。

空间复杂度分析

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记着：

                                 S(n)=O(f(n))

n为数据的规模；
f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

来看一个列子

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

第2行代码中，申请了一个空间存储变量i，但它是常量阶的，跟数据规模n没有关系，所以可忽略。
第3行申请了一个大小为n的int类型数组，除此之后，剩下的代码都没有占用跟多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是O(n)。
常见的空间复杂度就是O(1)、O(n)、O(n²)，像O(logn)、O(nlogn)这样的对数复杂度平时都用不到。